Loved Problema : Festival de cine

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2 months 1 week ago #3752 by Federico_Zertuche
Federico_Zertuche replied the topic: Problema : Festival de cine
Hola Martín

hoy me puse a trabajar un rato en el problema y creo que hice un pequeño avance. Adjunto las notas con las ideas generales. En definitiva me faltan dos cosas que creo que son mas simples que el problema original. Si tienes alguna pregunta o si tienes alguna idea de como resolver alguna de las partes avísame.
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2 months 4 weeks ago - 2 months 4 weeks ago #3724 by Federico_Zertuche
Federico_Zertuche replied the topic: Problema : Festival de cine
Si, una de las posibles representaciones es una marcha que comienza en 0 y luego de -como- n pasos tiene que volver a 0. Es un puente Browniano - pensé en eso tmb pero no ayuda en los cálculos.

Como otra idea, hay personas que hacen cálculos parecidos para entender como se ven algunas estructuras combinatorias grandes. Se llama Exact Sampling. Mira este libro:

www.inference.org.uk/mackay/itprnn/ps/413.435.pdf

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2 months 4 weeks ago #3723 by Martin_Gonzalez
Martin_Gonzalez replied the topic: Problema : Festival de cine
Si, esta difícil mismo, aun si parece super simple!

Para darte una idea hicimos 50 000 simulaciones de conteo y obtenemos

10 jurys -> 0.10092
20 jurys -> 0.0735
50 jurys -> 0.04634
75 jurys -> 0.03792
100 jurys -> 0.03224
200 jurys -> 0.02366
500 jurys -> 0.01506
1000 jurys -> 0.01078
2000 jurys -> 0.0074

que decrece justamente en 1/sqrt(n) como había dicho en algún otro comentario.
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2 months 4 weeks ago - 2 months 4 weeks ago #3722 by Federico_Zertuche
Federico_Zertuche replied the topic: Problema : Festival de cine
Hola!

se puso hardcore el asunto jaja . Calcular el # de sols a la mano parece bastante complicado.

En todo caso tengo una idea que puede ser útil. Voy a tratar de usar combinatoria analítica. En definitiva estamos buscando una descomposición de 0 en función de las diferencias entre las pelis. Mira las descomposiciones de enteros en el libro de Flajolet y Sedwick - son esos teoremas de Hardy y Ramanujan.

Voy a tratar de construir una una función generatriz. Lo interesante de esa función es que o resuelves el problema - cool - o entiendes porque es complicado y haces una aproximación.

La idea es que puedes describir las soluciones de manera recursiva - voy a usar SEQ y SUBSTITUTION. Adjunto unas hojas con las ideas.

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2 months 4 weeks ago #3721 by Martin_Gonzalez
Martin_Gonzalez replied the topic: Problema : Festival de cine
Hola de nuevo,
Hoy intenté continuar con este problema, sin obtener gran avance. Desde hace una semana intento entender este problema bien en detalle con amigo doctorant normalien en probabilidades y, a parte de hacer simulaciones en la compu estamos un poco perdiendo la esperanza de encontrar una formula exacta (i.e. una funcion en N=numero de jurados). El problema esta super chévere y. no hace intervenir probabilidades muy avanzadas. Sin embargo la combinatoria que interviene esta bien bien difícil aun si en teoría es evidente que una tal formula debe ser alcanzable. Alguien mas a parte de Diego o Fede a intentado atacar el problema?

Ténme al corriente Fede de como avanzas tu también.

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3 months 5 days ago #3714 by Federico_Zertuche
Federico_Zertuche replied the topic: Problema : Festival de cine
La próxima semana trato de contar el # de soluciones.

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3 months 5 days ago - 3 months 5 days ago #3713 by Federico_Zertuche
Federico_Zertuche replied the topic: Problema : Festival de cine
Chévere! Lo que quiero decir al final es que tienes que contar el número de soluciones de la última ecuación. La fórmula general es:

P( por lo menos 2 pelis empatan) =
\[# soluciones(\sum_j (I_j[L] - I_j[K]) ) / ( #jueces \times #pelis !)\]

No se como calcular el # de soluciones pero no parece tan difícil, es una ecuación lineal en I_j con algunas restricciones. Me parece un problema chévere.

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3 months 6 days ago #3712 by Martin_Gonzalez
Martin_Gonzalez replied the topic: Problema : Festival de cine
Gracias Fede por tu respuesta ! Estoy bastante de acuerdo con lo que dices, voy a ver si doy con la formula general de mi lado igual.

PS : Lo siento por la tardanza, estuve 1 semana sin poder conectarme.

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3 months 2 weeks ago - 3 months 2 days ago #3690 by Federico_Zertuche
Federico_Zertuche replied the topic: Problema : Festival de cine
Hola,

acabo de leer el problema. Tengo la sol para 2 persona y cualquier número de películas. En principio tengo la sol general también pero me falta algo. Adjunto un par de hojas con las ideas.

Puede ser que hayan errores.


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3 months 2 weeks ago #3684 by Diego_Chamorro
Diego_Chamorro replied the topic: Problema : Festival de cine
Creo que lo mejor es empezar con 3 peliculas, 3 notas y 2 jurados: haz todas las combinaciones posibles y de ahi sale lo que buscas

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3 months 2 weeks ago - 3 months 2 weeks ago #3683 by Martin_Gonzalez
Martin_Gonzalez replied the topic: Problema : Festival de cine
Ya revisé tu formula y en efecto lo que tu calculas es la probabilidad que una peli saque la nota maxima (es decir 5 por cada jurado) pero esa es una eventualidad super rara ! Mucho mas rara que el hecho de tener las dos mejores películas a igualdad. Me explico : todo el problema esta en que

"Cada miembro del jurado hace una lista de las películas : le pone 0 a la que menos le gusto y 5 a la que mas le gusto SIN REPETICIONES."

Es decir, digamos que tenemos 3 jurados, la probabilidad que 2 pelis saquen 5,5,5 es igual a cero porque si un jurado le puso 5 a una peli no le puede poner 5 a otra !
Pero por ejemplo digamos las 2 mejores pelis tienen las notas 2,5,4 y 4,4,3, ambas tienen 11 y estan en igualdad y la eventualidad que tengan las notas 2,5,4 y 4,3,4 no existe porque el jurado 3 no les puede poner 4 a dos pelis.

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3 months 2 weeks ago #3682 by Diego_Chamorro
Diego_Chamorro replied the topic: Problema : Festival de cine
…no creo que haya que pasar por marchas aleatorias…

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3 months 2 weeks ago #3672 by Martin_Gonzalez
Martin_Gonzalez replied the topic: Problema : Festival de cine
Hola ! gracias por tu propuesta :-) Nada mas tengo grandes dudas de si funciona :/ En todo caso va bastante al contrario de lo que estaba haciendo. Encontré una segunda manera de ver el problema, un poco aproximativa. Si nos damos 2 films y miramos su nota total relativa cuando recorremos los jurados, eso hace una marcha aleatoria centrada. Estos dos films terminan a igualdad si, y solo si, esta marcha termina en 0 al cabo de n etapas.
Esto pasa asintoticamente con una probabilidad de (2\pi \sigma^2 n)^{-1/2} donde \sigma^2 es la variance de la ley de salto de la marcha aleatoria y esto decrece en n^{-1/2}. Pienso que el hecho de poner 6 films no juega un rol enorme, sino que suma un factor de orden constante. Por lo tanto la probabilidad no deberia decrecer super rapido (como es en el caso de la propuesta de Diego). Deberia ser posible hacer aplicaciones numericas de este metodo con la compu.

En todo caso voy a pensar un poco en la respuesta de Diego, piensen un poco en la que acabo de dar, tal vez a la final logramos terminar el problema :-)

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3 months 2 weeks ago - 3 months 2 weeks ago #3670 by Diego_Chamorro
Diego_Chamorro replied the topic: Problema : Festival de cine
A ver, aqui una propuesta de solucion.

1) Hay 6 peliculas en juego (P1, …,P6), a las cuales se les puede atribuir una nota entre 0 y 5.

2) hay K jurados que hacen su orden, entonces la probabilidad que una pelicula tenga 5 (con probabilidad uniforme) es el numero de permutaciones posibles, es decir
\[\frac{5!}{6!}\]
.
3) Cada jurado es independiente, de manera que la probabilidad de que una pelicula cualquiera "PX" tenga la maxima nota es
\[6\times \mathbb{P}(J_1= PX \cap \cdots \cap J_K= PX) =6\times \mathbb{P}(J_1= PX)\times \cdots \times \mathbb{P}(J_K= PX)=6\times \left(\frac{1}{6}\right)^K= \left(\frac{1}{6}\right)^{K-1}\]
.

Diego_Chamorro

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3 months 3 weeks ago #3664 by Diego_Chamorro
Diego_Chamorro replied the topic: Problema : Festival de cine

Martin_Gonzalez wrote: se supone que un jurado no puede ponerle la misma nota a dos películas sino que hace el lista de las películas en orden y a cada pelicula le asigna un elemento, y un solo, en {0,1,2,3,4,5}.


Ok ese no es el mismo problema entonces…

Diego_Chamorro

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3 months 3 weeks ago #3662 by Martin_Gonzalez
Martin_Gonzalez replied the topic: Problema : Festival de cine
Con la formula de Diego nada mas hay una cosa con la que no concuerdo : se supone que un jurado no puede ponerle la misma nota a dos películas sino que hace el lista de las películas en orden y a cada pelicula le asigna un elemento, y un solo, en {0,1,2,3,4,5}.

Por lo tanto la probabilidad que con 1 jurado haya un empate es siempre 0. Me explico?

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3 months 3 weeks ago #3661 by Martin_Gonzalez
Martin_Gonzalez replied the topic: Problema : Festival de cine
Sin embargo aun así el problema esta lejos de terminarse porque k no es cualquier valor sino el mas alto, ademas hay que combinar las lineas etc.. Esa es la parte que no tengo idea de como hacer :-)

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3 months 3 weeks ago #3660 by Martin_Gonzalez
Martin_Gonzalez replied the topic: Problema : Festival de cine
Genial, muchas gracias por este primer aporte, que corresponde a lo que yo habia hecho :

La formula a la que yo llego para la probabilidad que la j-ava pelicula tenga una nota dada k es la siguiente
\[P_j=P(\sum_{1 \leq i \leq n} X_{j,i}=k)=\sum_{A} P(X_{j,1}=i_1) \times \ldots \times P(X_{j,n}=i_n)\]
donde A es el conjunto
\[\{i_1, \ldots , i_n ; i_1+ \ldots + i_n=k , 0\leq i_j \leq 5 \}\]
Hay que entenderlo bajo forma matricial. X_{j,i} es la nota que le la i-ava persona del jurado le puso a la j-ava pelicula.

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3 months 3 weeks ago - 3 months 3 weeks ago #3659 by Diego_Chamorro
Diego_Chamorro replied the topic: Problema : Festival de cine
Vamos por partes e intentemos cosas simples.

1) Hay 6 posibles notas (de 0 a 5), con probabilidad uniforme.

2) Supongamos que hay 2 peliculas (llamemos P1 y P2) en competicion y 1 jurado que atribuye las notas de forma independiente.

3) La pregunta es entonces: ¿cual es la probabilidad de que las dos peliculas saquen la maxima nota?
(se desea que esta proba sea lo mas baja posible).

Es decir
\[\mathbb{P}(P1=5 y P2=5) = \mathbb{P}(P1=5)\times P(P2=5)\]
pues los eventos son independientes, pero por la probabilidad uniforme se tiene
\[\mathbb{P}(P1=5 y P2=5) = \mathbb{P}(P1=5)\times P(P2=5)= 1/6 \times 1/6=1/36\]
.

Estamos bien? Ahora hay que repetir eso con 6 peliculas y 1 solo jurado: esto es facil. la probabilidad es 1/(6^6).

Lo dificil viene cuando hay 2 o mas jurados.

Diego_Chamorro

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3 months 3 weeks ago #3647 by Martin_Gonzalez
Martin_Gonzalez replied the topic: Problema : Festival de cine
Otra precisión: Ella no quiere que hayan 2 primeros puestos. El resto de notas pueden repetirse, lo que cuenta es que no hayan 2 medallas de oro.
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