Question Propiedades de las funciones del espacio de Schwartz

La funcion al estar en la clase de Schwartz , esta en todos los L^p (1\leq p\leq +\infty) y sus derivadas también.

Entonces todas las normas ||.||_L^p son finitas, y cada una de estas normas es por lo tanto un real. Basta utilizar la propiedad arquimediana de la recta real para obtener la constante.

Sino, lo realmente importante no es la constante, sino el parametro \lambda

En el documento sobre espacios funcionales de Besov, subido en la página de Amarun: amarun.net/phocadownload/userupload/Dieg...onales_Leccion_4.pdf , se hace una demostración sobre las desigualdades de Bernstein. En cierto momento de la demostración (página 8, demostración de la primera desigualdad) se señala lo siguiente: "Sabemos que \(\phi ∈ C^\infty_0 (R^ n , R) ⊂ S(R^ n , R)\), de manera que \(g \in S(R^n , R)\) y por las propiedades de las funciones de la classe de Schwartz tenemos que \(\lVert \partial^\alpha g\rVert_{L^1} \leq C \lVert \partial^\alpha g \rVert_{L^\infty}\)".

Mi duda es la siguiente: ¿Como se puede probar formalmente la existencia de una constante \(C\) que permite el acotamiento entre las normas \(\lVert \partial^\alpha g\rVert_{L^1} \leq C \rVert\partial^\alpha g \rVert_{L^\infty}\). Sé que alas funciones pertenecientes al espacio de Schwartz decrecen rápidamente al igual que sus derivadas, por lo que cualquier función de este espacio es lp integrable, pero no estoy claro en como obtener ese acotamiento que es importante para concluir la demostración de la primera desigualdad.

Saludos.

En el documento sobre espacios funcionales de Besov, subido en la página de Amarun: amarun.net/phocadownload/userupload/Dieg...onales_Leccion_4.pdf , se hace una demostración sobre las desigualdades de Bernstein. En cierto momento de la demostración (página 8, demostración de la primera desigualdad) se señala lo siguiente: "Sabemos que \(\phi ∈ C^\infty_0 (R^ n , R) ⊂ S(R^ n , R)\), de manera que \(g \in S(R^n , R)\) y por las propiedades de las funciones de la classe de Schwartz tenemos que \(lVert ∂^\alpha g\rVert_{L^1} \leq C ||partial^\alpha g \rVert_{L^\infty}\)".

Mi duda es la siguiente: ¿Como se puede probar formalmente la existencia de una constante \(C\) que permite el acotamiento entre las normas \(lVert ∂^\alpha g\rVert_{L^1} \leq C ||partial^\alpha g \rVert_{L^\infty}\). Sé que alas funciones pertenecientes al espacio de Schwartz decrecen rápidamente al igual que sus derivadas, por lo que cualquier función de este espacio es lp integrable, pero no estoy claro en como obtener ese acotamiento que es importante para concluir la demostración de la primera desigualdad.

Saludos.