Question Ejercicio 2. Lección 1

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3 months 1 week ago #4211 by Oscar_Jarrin
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3 months 1 week ago - 3 months 1 week ago #4210 by Pablo_Zuleta
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3 months 1 week ago #4209 by Pablo_Zuleta
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3 months 1 week ago - 3 months 1 week ago #4208 by Diego_Chamorro
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Diego_Chamorro
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3 months 1 week ago #4207 by Pablo_Zuleta
Ejercicio 2. Lección 1 was created by Pablo_Zuleta
Tengo una duda acerca de la demostración del Ejercicio 2 de la lección 1.

Mostrar que si la estructura de espacio topológico vectorial es engendrada por una distancia homogénea entonces las nociones de acotación en el sentido métrico y en el sentido de los espacios vectoriales topológicos coinciden.

(=>)
Sea A un conjunto acotado por una métrica homogénea. Sea V una vecindad del origen. Notemos t=inf d(0,x) con x en V, y
k=sup d(0,y) con y en A. Entonces si tomamos u=k/t,entonces para todo h>u se cumple que para todo elemento z en hV
d(0,z)=d(0,hx) para algún x en V, es decir
d(0,z)=h d(0,x) >k
De donde se deduce que A está contenido en uV.

(<=)
Por otro lado si A es un conjunto tal que para toda vecindad V del origen existe u>0, tal que A está contenido en hV, para todo h>u. En particular para un vecindad acotada de diámetro M>0, se cumple que
diam(A)<hM<infinito
Por tanto A es acotado en el sentido métrico.

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